Как построить пересечение двух плоскостей. Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L 1 и L 2 , принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ 1 . Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1""C"" и 2""3"", совпадают с фронтальным следом пл. γ 1 . Он обозначен на рисунке как f 0 γ 1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1"C" и 2"3" по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L 1 на пересечении прямых 1"C" и 2"3". Фронтальная проекция точки L 1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ 2 . С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L 2 .
5. Через L 1 и L 2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П 1 и П 2 .

Алгоритм построения

1. Находим точку L" 1 , расположенную на пересечении горизонтальных следов h 0 α и h 0 β . Точка L"" 1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L" 1 .
2. Находим точку L"" 2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L" 2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L"" 2 .
3. Проводим прямые l" и l"" через соответствующие проекции точек L 1 и L 2 , как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f 0σ . Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3""=A""B""∩f 0σ и 5""=A""С""∩f 0σ , определяем положение (∙)3" и (∙)5" по линиям связи на ΔA"B"C".
2. Находим горизонтальную проекцию N"=D"E"∩3"5" точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N"" расположена на фронтальном следе f 0σ на одной линии связи с N".

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f 0τ . С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

3. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π 2 . Так как (∙)5" находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4", то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π 2 . С противоположной стороны от линии N""K"" видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π 1 . Так как (∙)6"" находится выше, чем (∙)7"", то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π 1 . С противоположной стороны от линии N"K" видимость треугольников меняется.

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K 1 К 2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K 1 и K 2 ; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К 1 и К 2 принадлежат обеим плоскостям.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.

На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π 2 . Так как треугольник DEF проецируется на пл.π 2 в виде прямой линии (D"F"), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К" 1 К" 2 на проекции D"F". Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок M"N" - определяется на следе α".

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей . Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,- двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K 1 K 2 . Выразим это записью: β × γ = К 1 K 2 .

Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α 1 , и α 2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α 1 . получаем прямые с проекциями 1"2", 1"2" и 3"4", 3"4". Эти прямые, расположенные в пл. α 1 , в своем пересечении определяют первую точку, К 1 , линии пересечения плоскостей β и γ.

Получив проекции К" 1 и К" 2 находим на следах и α" 1 и α" 2 проекции К" 1 и К" 2 . Этим определяются проекции К" 1 К" 2 и К" 1 К" 2 искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).

При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α 1 и α 2 взаимно параллельны, то, построив проекции 1"2" и 3"4" следует для проекций 5"6" и 7"8" взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5"6"||1"2" и 7"8"||3"4".

В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими

плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.

Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:

α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; h" 0α × h" 0β =M;

α × π 2 =f" 0α ; β× π 2 =f" 0β ; f" 0α × f" 0β =N.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М" в пересечении следов h" 0α и h" 0β

и точку N" в пересечении f" 0α и f" 0β , а по ним - проекции М" и N"; 2) провести прямые линии M"N" и M"N",

На рис. 169-171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

Вопросы к §§ 22-24

1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
2. Каков признак параллельности двух плоскостей?
3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
7. Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
8. Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π 1 б) пл. π 2 считается видимой соответственно на π 1 , на π 2 ?
10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π 1 или к пл. π 2 ?
11. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость , строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К К 2 двух плоскостей Рн Q.

Рис. 4.5

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-про- ецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС.

На фронтальной проекции в пересечении проекций а"Ь" и а’с" со следом Р и находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки тип проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин АВС и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на

Рис. 4.8

рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и Ас сторон ААВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции тип точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"Ь" и Ь"с" строим фронтальные проекции т’ и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника АВС до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции Л DEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", /иллинии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а’Ь’, b"c", ab, Ьс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d"e", f’g’, de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами R, и T v .

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2 , вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям /", 2" и 3", 4’ находим с помощью линий связи горизонтальные проекции !, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, Ьс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе Л„ вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию Ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция я второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе Т„ вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция я". Через построенные проекции яГ, я" и т, я проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.

В задаче необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и определить натуральную величину одной из них методом плоскопараллельного перемещения.

Для решения такой классической задачи по начертательной геометрии необходимо знать следующий теоретический материал:

— нанесение проекций точек пространства на комплексный чертеж по заданным координатам;

— способы задания плоскости на комплексном чертеже, плоскости общего и частного положения;

— главные линии плоскости;

— определение точки пересечения прямой линии с плоскостью (нахождение «точки встречи» );

— метод плоскопараллельного перемещения для определения натуральной величины плоской фигуры;

— определение видимости на чертеже прямых линий и плоскостей с помощью конкурирующих точек.

Порядок решения Задачи

1. Согласно варианту Задания по координатам точек наносим на комплексный чертеж две плоскости, заданные в виде треугольников ABC (A’, B’, C’; A, B, C) и DKE (D’, K’, E’; D, K, Е) (рис.1.1 ).

Рис.1.1

2 . Для нахождения линии пересечения воспользуемся методом проецирующей плоскости . Суть его в том, что берется одна сторона (линия) первой плоскости (треугольника) и заключается в проецирующую плоскость. Определяется точка пересечения этой линии с плоскостью второго треугольника. Повторив эту задачу еще раз, но для прямой второго треугольника и плоскости первого треугольника, определим вторую точку пересечения. Так как полученные точки одновременно принадлежат обеим плоскостям, они должны находиться на линии пересечения этих плоскостей. Соединив эти точки прямой, будем иметь искомую линию пересечения плоскостей.

3. Задача решается следующим образом:

а) заключаем в проецирующую плоскость Ф(Ф’) сторону AB (A ’ B ’) первого треугольника во фронтальной плоскости проекций V . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами DK и DE второго треугольника, получая точки 1(1’) и 2 (2’) . Переносим их по линиям связи на горизонтальную плоскость проекций H на соответствующие стороны треугольника, точка 1 (1) на стороне DE и точка 2(2) на стороне DK .

Рис.1.2

б) соединив проекции точек 1 и 2 , будем иметь проекцию проецирующей плоскости Ф . Тогда точка пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DKE определится (согласно правилу) вместе пересечения проекции проецирующей плоскости 1-2 и одноименной проекции прямой AB . Таким образом, получили горизонтальную проекцию первой точки пересечения плоскостей – M , по которой определяем (проецируем по линиям связи) её фронтальную проекцию – M ’ на прямой A ’ B ’ (рис.1.2.а );

в) аналогичным путем находим вторую точку. Заключаем в проецирующую плоскость Г(Г) сторону второго треугольника DK (DK ) . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами первого треугольника AC и BC во горизонтальной проекции, получая проекции точек 3 и 4 . Проецируем их на соответствующие стороны в фронтальной плоскости, получаем 3’ и 4’ . Соединив их прямой, имеем проекцию проецирующей плоскости. Тогда вторая точка пересечения плоскостей будет в месте пересечения линии 3’-4’ со стороной треугольника D ’ K ’ , которую заключали в проецирующую плоскость. Таким образом, получили фронтальную проекцию второй точки пересечения – N ’ , по линии связи находим горизонтальную проекцию – N (рис.1.2.б ).

г) соединив полученные точки MN (MN ) и (M ’ N ’) на горизонтальной и фронтальной плоскостях, имеем искомую линию пересечения заданных плоскостей.

4. С помощью конкурирующих точек определяем видимость плоскостей. Возьмем пару конкурирующих точек, например, 1’=5’ во фронтальной проекции. Спроецируем их на соответствующие стороны в горизонтальную плоскость, получим 1 и 5 . Видим, что точка 1 , лежащая на стороне D Е имеет большую координату до оси x , чем точка 5 , лежащая на стороне A В . Следовательно, согласно правилу, большей координаты, точка 1 и сторона треугольника D ’Е ’ во фронтальной плоскости будут видимые. Таким образом, определяется видимость каждой стороны треугольника в горизонтальной и фронтальной плоскостях. Видимые линии на чертежах проводятся сплошной контурной линией, а не видимые — штриховой линией. Напомним, что в точках пересечения плоскостей (M — N и M ’- N ’ ) будет происходить смена видимости.

Рис.1.3

Р ис.1. 4 .

На эпюре дополнительно показано определение видимости в горизонтальной плоскости с использованием конкурирующих точек 3 и 6 на прямых DK и АВ .

5. Методом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину плоскости треугольника ABC , для чего:

а) в указанной плоскости через точку С(С) проводим фронталь C — F (С- F и C ’- F ’) ;

б) на свободном поле чертежа во горизонтальной проекции берем (отмечаем) произвольную точку С 1 , считая, что это одна из вершин треугольника (конкретно вершина C ). Из нее восстанавливаем перпендикуляр к фронтальной плоскости (через ось х );

Рис.1.5

в) плоскопараллельным перемещением переводим горизонтальную проекцию треугольника ABC , в новое положение A 1 B 1 C 1 таким образом, чтобы в фронтальной проекции он занял проецирующее положение (преобразовался в прямую линию). Для этого: на перпендикуляре от точки С 1 , откладываем фронтальную проекцию горизонтали C 1 — F 1 (длина l CF ) получаем точку F 1 . Раствором циркуля из точки F 1 величиною F-A делаем дуговую засечку, а из точки C 1 — засечку величиной CA , тогда в пересечении дуговых линий получаем точку A 1 (вторая вершина треугольника);

— аналогично получаем точку B 1 (из точки C 1 делаем засечку величиной C — B (57мм), а из точки F 1 величиной F — B (90мм).Заметим, что при правильном решении три точки A 1 F ’ 1 и B ’ 1 должны лежать на одной прямой (сторона треугольника A 1 — B 1 )две другие стороны С 1 — A 1 и C 1 — B 1 получаются путем соединения их вершин;

г) из метода вращения следует, что при перемещении или вращении точки в какой-то плоскости проекций — на сопряженной плоскости проекция этой точки должна двигаться по прямой линии, в нашем конкретном случае по прямой параллельной оси х . Тогда проводим из точек A ’ B ’ C ’ фронтальной проекции эти прямые (их называют плоскостями вращения точек), а из фронтальных проекций перемещенных точек A 1 В 1 C 1 восстановим перпендикуляры (линии связи) (рис.1.6 ).

Рис.1.6

Пересечения указанных линий с соответствующими перпендикулярами дает новые положения фронтальной проекции треугольника ABC , конкретно A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 который должен стать проецирующим (прямой линией), поскольку горизонталь h 1 мы провели перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис.1.6 );

5) тогда для получения натуральной величины треугольника достаточно его фронтальную проекцию развернуть до параллельности с горизонтальной плоскостью. Разворот осуществляем с помощью циркуля через точку А’ 1 , считая ее как центр вращения, ставим треугольник A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 параллельно оси х , получаем A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 . Как было сказано выше, при вращении точки, на сопряженной (теперь на горизонтальной) проекции они двигаются по прямым параллельным оси х . Опуская перпендикуляры (линии связи) из фронтальных проекций точек A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 пересечения их с соответствующими линиями находим горизонтальную проекцию треугольника ABC (A 2 В 2 C 2 ) в натуральную величину (рис.1.7 ).

Рис. 1.7

У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно

Цена 55 руб , чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:
*.jpg – обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw – формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и.dxf — формат программы AUTOCAD, nanoCAD;

Раздел: Начертательная геометрия /

Стерлитамакский филиал

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Методические указания к решению домашнего задания № 3

для студентов специальности 240801, 240401, 280201

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей при изучении темы "Взаимное пересечение поверхностей" и выполнении домашнего графического задания по этой теме.

Перед работой с методическими указаниями студент обязан изучить материал по рекомендуемой литературе.

1.1 Целью задания является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.

а) построить проекции линий пересечения заданных поверхностей способом плоскостей-посредников (формат A3);

б) построить проекции линий пересечения поверхностей способом сферических посредников (формат A3);

в) отметить характерные точки линий пересечения.

Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении.

2 МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

2.1. Произвести разметку (компоновку) формата, предусматривая рациональное использование поля чертежа.

2.2. Вычертить в тонких линиях карандашом исходные данные задачи, вспомогательные линии построения, найденную линию пересечения поверхностей.

2.3. Заполнить основную надпись (содержание и размеры приведены на рис.1)

Рис. I. Основная надпись

2.4. Работа, выполненная в тонких линиях, должка быть представлена на проверку преподавателю.

2.5. После проверки произвести обводку чертежа, исходя из следующих требований:

2.5.1 Данные элементы выполняются черным цветом карандашом, тушью или пастой сплошной основной линией (S @ 1 мм).

2.5.2 Линии проекционной связи и оси проекций выполняются черным цветом сплошной тонкой линией карандашом, тушью или пастой (S @ 0,5 мм).

2.5.3 Линии вспомогательных построений, выполняются зеленым или синим цветом сплошной тонкой линией (S @ 0,5 мм) также карандашом, тушью или пастой.

2.5.4 Искомые элементы выполняются сплошной основной линией красного цвета (карандаш, тушь, паста, фломастер, S @ 1 мм), S - толщина линии.

2.6. Представить работу для защиты. Защита работы фиксируется подписью преподавателя в графе «Принял» и сопровождается соответствующей оценкой, проставляемой в виде дроби: числитель - оценка за глубину изучения темы, знаменатель - оценка за качество графического исполнения чертежа.

3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Линия пересечения поверхностей - это кривая, состоящая из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Она представляет собой в общем случае пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения строят по ее отдельным точкам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей - посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

Применение того или иного способа построения линии пересечения поверхностей зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.

4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

При нахождении точек линии пересечения поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения различают точки опорные (характерные) и промежуточные (случайные). В первую очередь определяют опорные точки, т.к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где необходимо изменять положение вспомогательных поверхностей-посредников.

К опорным точкам относят точки, лежащие на очерках поверхностей, высшие и низшие точки, ближайшие к наблюдателю и наиболее удаленные от него, крайние левые и правые.

Способ вспомогательных плоскостей следует применять тогда, когда обе пересекающиеся поверхности, возможно пересечь по графически простым линиям (окружностям или прямым) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей (или, в частном случае, совокупностью плоскостей уровня).

На рис. 2 показано построение линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра с конусом вращения. Опорные точки 1 и 2 определены при пересечении главных меридианов обеих поверхностей, находящихся в плоскости симметрии. Случайные точки 3,3 1 4, 4 1 находят с помощью горизонтальных плоскостей уровня S 1 и S 2 , пересекающих обе поверхности по окружности. Фронтальная проекция линии пересечения строится по законам проекционной связи.

На рис. 3 построена линия пересечения конуса вращения со сферой. Опорные точки линии пересечения 1 и 2 определяются сразу, как и в предыдущем случае, при пересечении очерковых образующих (главных меридианов). Случайные точки 5, 5 1 находят с помощью горизонтальной плоскости уровня S 3 . Точки видимости 4и 4 1 определяет плоскость S 1 , пересекающая сферу по экватору. Точки 4 и 4 1 разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части. Для построения двух крайних левых точек 3 и 3 1 необходимо из точки 0 (0" , 0) пересечения осей конуса и шара опустить перпендикуляр на образующую конуса и через точку К" провести плоскость S 2 . В пересечении соответствующих окружностей получаются точки 3 и 3 1 - крайние левые. Проведя ряд вспомогательных плоскостей, можно получить какое угодно количество случайных точек, уточняющих форму линии пересечения.

Рис. 2. Построение линии пересечения цилиндра и конуса

Рис. 3. Построение линии пересечения конуса и сферы

5 СПОСОБ СФЕРИЧЕСКИХ ПОСРЕДНИКОВ

Сферические посредники нашли широкое применение в решении задач на взаимное пересечение поверхностей. Обуславливается это тем, что:

а) проекции сферы строятся чрезвычайно просто;

б) на сфере может быть взято бесчисленное множество семейств окружностей;

в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью ее симметрии,

В основе метода сферических посредников лежит следующая теорема: "Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их главных меридианов". Пусть заданы две соосные поверхности вращения Ф и ψ рис, 4), их главные меридианы а" и b" Общие точки этих меридианов 2. и 1 образуют при вращении окружности, которые являются общими для данных поверхностей. Эти окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси вращения, а на горизонтальную плоскость - в натуральную величину. Любое другое поясное сечение, например, плоскостью S, даст две окружности разных диаметров.

В способе сферических посредников в качестве одной из соосных поверхностей берутся сферы, а в качестве второй - любая поверхность вращения, например, конус, цилиндр, шар, эллипсоид и гиперболоид вращения и др.

Рис. 4. Соосные поверхности

В этом случае указанная теорема получает следующую формулировку: "Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересекает данную поверхность по окружности" (рис.5).

Рис. 5. Сфера, соосная поверхностям вращения

Во всех случаях сфера пересекается с поверхностью вращения по окружностям равных или разных диаметров, которые проецируются в прямые линии, перпендикулярные к оси поверхности вращения. Способ сферических посредников имеет две разновидности:

а) способ концентрических сфер, когда сферы-посредники строятся из одного и того же центра;

б) способ эксцентрических сфер, когда посредники строятся из различных центров.

Для решения задач первым способом необходимы следующие условия:

l) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;

2) оси обеих поверхностей должны пересекаться между собой и лежать в общей плоскости симметрии.

Для решения задач вторым способом (эксцентрических сфер) условия несколько иные, а именно:

1) одна из пересекающихся поверхностей должна быть поверхностью вращения, а вторая - нести на себе семейство круговых сечений;

2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, на которую круговые сечения проецируются в виде прямых линий.

На рис.6 показано определение линии пересечения двух поверхностей вращения (конуса и цилиндра) способом концентрических сфер. План решения задачи следующий:

1) принимают точку пересечения осей поверхностей О (О" , О) за центр, проводят вспомогательные сферы-посредники;

2) определяют окружности пересечения сфер-посредников с каждой из заданных поверхностей в отдельности;

3) находят точки пересечения полученных окружностей, эти точки принадлежат искомой линии пересечения" поверхностей.

Начинают построение с определения опорных точек - точек пересечения очерковых образующих 1 и 2. Далее определяют значение радиуса наибольшей и наименьшей сферы-посредника; R макс равен расстоянию от центра О до наиболее удаленней точки пересечения очерковых образующих, Для определения радиуса наименьшей сферы-посредника R мин. из центра О" опускают нормали О"К" и

О" Т" на очерковые образующие обеих поверхностей. Величина большей из нормалей и является радиусом наименьшей сферы-посредника. Эта наименьшая вспомогательная сфера даёт еще одну опорную точку - точку 5, которая является точкой крайнего прогиба, вершиной кривой линии пересечения. Остальные точки строятся с помощью промежуточных сфер, радиус которых берется в пределах R мин

Рис. 7. Построение линии пересечения с помощью эксцентрических сфер

На рис.7 построена линия пересечения конуса, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости, и четверти тора, ось вращения которого перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Для решения использовался способ эксцентрических сфер-посредников. Решение задачи начинают с определения точек пересечения очерковых образующих обеих поверхностей. Точки 1,2,3.определяются непосредственно с чертежа фронтальной проекции, а точка 4 пересечения оснований поверхностей найдена на горизонтальной проекции. Для построения промежуточных точек линии пересечения рассекают торовую поверхность плоскостями, проходящими через ось тора. В сечении получают окружности. Например, плоскость S 1 пересекает тор по окружности диаметра а" b". Изцентра этой окружности точки К" восстанавливают перпендикуляр до пересечения с осью конуса в точке О" 1 . Принимая эту точку за центр, строят вспомогательную сферу-посредник радиусом О" 1 а" (О" 1 b" ). Эта сфера пересекает тор по известной уже окружности а" b" , а конус - по окружности 8" -9" . Взаимное их пересечение дает точку 5 линии пересечения. Аналогично с помощью плоскостей S 2 и S 3 найдены точки 6 и 7.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. - М.: Академия, 2011.

2. Гордон В.О. Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк., 2002.

3. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Высш. шк., 2003.

4. Стрижаков А.В. и др. Начертательная геометрия: Учеб. пос. для вузов. - Ростов н/Д: Феникс, 2004.

ПРИЛОЖЕНИЕ

2. Методика и порядок выполнения задания. . . . . . . . . . . . 1

3. Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Способ вспомогательных плоскостей частного положения. . . . . 3

5. Способ сферических посредников. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11